CUBIC SPLINES SYNTHESIS OF A DISTORTED ISOLINE IN THE ASPECT OF USING DIFFERENTIAL MODE OF SATELLITE NAVIGATION

The issue of practical application of the concept of «smoothness» in the new paradigm of isogeometric analysis for the interpolation of any navigation isoline based on the method of spline functions is investigated. It is noted that in the process of studying the problem of the exact approximation of the isoline curvature, the practical possibility of bending a planar curve in physical space with the possibility of the existence of discontinuity points is allowed. Taking into account the considered geometric effect it creates a theoretical prerequisite for the synthesis of complex navigation isolines. Variations in the solution of the task are reduced to the optimal selection of the spline modification according to the degree of «smoothness». To understand the possibilities of the mathematical resource, a comparative assessment of a typical set of spline interpolants in the form of linear, quadratic or parabolic, cubic and irrational splines is given. The advantages and disadvantages of each piecewise function are considered. The linear multi-links competing with the perspective cubic spline are interpreted as the minimum splines of the possible maximum «smoothness». The characteristics of the practical arsenal of interpolation tools are illustrated by the explanatory drawings. The cubic spline is recognized as the most preferred form-preserving phenomenon. Theoretically, the leading role of cubic piecewise polynomials in the processing of navigation information is proved. The real advantages of cubic spline interpolation are justified. The mechanism of modernization of the hybrid approximation algorithm with obtaining the effect of the speed of computational operations due to the concretized representation of matrix compositions in the development of the Schoenberg’s hypothesis is investigated. In contrast to the classical approach with the permanent calculation of each spline element, the operating with previously known numerical realizations of the matrix structure is proposed. A clarifying geometric interpretation of the probability of occurrence of a distorted navigation isoline is given when using the differential mode of satellite navigation as an alternative to the precise point positioning. The studied theoretical assumptions are confirmed by the practical creation of high-speed application programs for the purpose of «smooth» approximation of a discontinuous isoline or isosurface based on the methods of cubic piecewise approximation. The software upgrade in the proposed study is based on the introduction in the algorithm of additional logical conditions for optimal mathematical manipulation of the points of discontinuity of navigation isolines.

curvature approximation, planar curve, spline-interpolant, linear splines, quadratic splines, parabolic splines, cubic splines, irrational splines, Schoenberg’s hypothesis, precise point positioning

1. Kvasov B. Weighted cubic and biharmonic splines / B. Kvasov, T. W. Kim // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2017. - Vol. 57. - Is. 1. - Pp. 26-44. DOI: 10.1134/S0965542517010109.

2. Taheri A.H. Adaptive w-refinement: A new paradigm in isogeometric analysis / A.H. Taheri, K. Suresh // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2020. - Vol. 368. - Pp. 113180. DOI: 10.1016/j.cma.2020.113180.

3. Taheri A. H. Generalizations of non-uniform rational B-splines via decoupling of the weights: theory, software and applications / A. H. Taheri, S. Abolghasemi, K. Suresh // Engineering with Computers. - 2020. - Vol. 36. - Pp. 1831-1848. DOI: 10.1007/s00366-019-00799-w.

4. Han X. Bicubic B-spline surface constrained by the Biharmonic PDE / X. Han, J. Han // Applied Mathematics and Computation. - 2019. - Vol. 361. - Pp. 766-776. DOI: 10.1016/j.amc.2019.06.025.

5. Ююкин И. В. Модификация метода наименьших квадратов для сплайн-аппроксимации навигационной изоповерхности / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2019. - Т. 11. - № 4. - С. 631-639. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11-4-631-639.

6. Chaudhuri A. B-Splines / A. Chaudhuri // Encyclopedia of Computer Graphics and Games. - Springer, Cham, 2019. - Pp. 1-11. DOI: 10.1007/978-3-319-08234-9_359-1.

7. Ююкин И. В. Интерполяция навигационной функции сплайном лагранжева типа / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. - 2020. - Т. 12. - № 1. - С. 57-70. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-1-57-70.

8. Volkov Yu. S. Fifty years to Schoenberg’s problem on the convergence of spline interpolation / Yu. S. Volkov, Yu. N. Subbotin // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2015. - Vol. 288. - Is. 1. - Pp. 222-237. DOI: 10.1134/S0081543815020236.

9. Волков Ю. С. О погрешности приближения простейшей локальной аппроксимацией сплайнами / Ю. С. Волков, В. В. Богданов // Сибирский математический журнал. - 2020. - Т. 61. - № 5. - С. 1000-1008. DOI: 10.33048/smzh.2020.61.503.

10. Ююкин И. В. Сплайн-интерполяция навигационных изолиний / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2019. - Т. 11. - № 6. - С. 1026-1036. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11-6-1026-1036.

11. Дерябин В. В. Алгоритмизация счисления пути судна на основе нейросетевых технологий: автореф. дисс. … д-ра техн. наук / В. В. Дерябин. - СПб., 2019. - 43 с.

12. Ююкин И. В. Применение метода сплайн-функций при компьютерной визуализации подводного рельефа / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. - 2021. - Т. 13. - № 1. - С. 64-79. DOI: 10.21821/2309-5180-2021-13-1-64-9.

13. Makarov A. A. On Two Algorithms of Wavelet Decomposition for Spaces of Linear Splines / A. A. Makarov // Journal of Mathematical Sciences. - 2018. - Vol. 232. - Is. 6. - Pp. 926-937. DOI: 10.1007/s10958-018-3920-z.

14. Kvasov B. I. Parabolic B-splines in interpolation problems / B. I. Kvasov // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1983. - Vol. 23. - Is. 2. - Pp. 13-19. DOI: 10.1016/S0041-5553(83)80041-X.

15. Богданов В. В. Об условиях формосохранения при интерполяции параболическими сплайнами по Субботину / В. В. Богданов, Ю. С. Волков // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2016. - Т. 22. - № 4. - С. 102-113. DOI: 10.21538/0134-4889-2016-22-4-102-113.

16. Ююкин И. В. Навигационное использование e-Loran в модификации с методом сплайн-функций / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2020. - Т. 12. - № 4. - С. 703-715. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-4-703-715.

17. Volkov Yu. S. Shape-preserving interpolation by cubic splines / Yu. S. Volkov, V. V. Bogdanov, V. L. Miroshnichenko, V. T. Shevaldin // Mathematical Notes. - 2010. - Vol. 88. - Is. 6. - Pp. 798-805. DOI: 10.1134/S0001434610110209.

18. Волков Ю. С. Сплайны как инструмент геометрического моделирования (к 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова) / Ю. С. Волков, В. Л. Мирошниченко, С. И. Фадеев // Сибирские электронные математические известия. - 2011. -Т. 8. - С. A.11-A.16.

19. Volkov Yu. S. Convergence of Quartic Interpolating Splines / Yu. S. Volkov // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2020. - Vol. 308. - Pp. 196-202. DOI: 10.1134/S0081543820020169.

20. Lukomskii S. F. On Binary B-splines of Second Order / S. F. Lukomskii, M. D. Mushko // Izvestiya of Saratov University. New series. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics. - 2018. - Vol. 18. - Is. 2. - Pp. 172-182. - DOI: 10.18500/1816-9791-2018-18-2-172-182.

21. Schoenberg, I. J. Contribution to the Problem of Approximation of Equidistant Data by Analytic Functions / I. J. Schoenberg // Quarterly of Applied Mathematics. - 1946. - Vol. 4. - № 1. - Pp. 45-99. DOI: 10.1090/qam/15914.

22. Ююкин И. В. Оптимизация моделирования навигационной изоповерхности методами базисных финитных сплайнов / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2019. - Т. 11. - № 2. - С. 266-274. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11-2- 266-274.

23. Wand M. P. On semiparametric regression with O’Sullivan penalized splines / M. P. Wand, J. T. Ormerod // Australian & New Zeland Journal of Statistics. - 2008. - Vol. 50. - Is. 2. - Pp. 179-198. DOI: 10.1111/j.1467-842X.2008.00507.x.

24. Valentin J. Gradient-Based Two-Scale Topology Optimization With B-Splines on Sparse Grids / J. Valentin, D. Hübner, M. Stingl, D. Pflüger // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2020. - Vol. 42. - Is. 4. - Pp. B1092-B1114. DOI: 10.1137/19M128822X.

25. Ююкин И. В. Аппроксимация геоида методами сплайн-функций / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2020. - Т. 12. - № 2. - С. 262-271. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-2-262-271.

26. Ююкин И. В. Поиск ошибок в базе навигационных данных методом визуализации сплайновой изоповерхности / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2020. - Т. 12. - № 3. - С. 481-491. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-3-481-491.

27. Chaudhuri A. Shape Deformation Models / A. Chaudhuri // Encyclopedia of Computer Graphics and Games. - Springer, Cham, 2019. - Pp. 1-10. DOI: 10.1007/978-3-319-08234-9_358-1.

28. Bogdanov V. V. Shape-Preservation Conditions for Cubic Spline Interpolation / V. V. Bogdanov, Yu. S. Volkov // Siberian Advances in Mathematics. - 2019. - Vol. 29. - Is. 4. - Pp. 231-262. DOI: 10.3103/S1055134419040011.

29. Ратнер Е. А. Сплайн-интерполяция для построения трехмерных батиметрических моделей при картографировании внутренних водных путей / Е. А. Ратнер, А. И. Зайцев, М. А. Квасной // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2020. - Т. 12. - № 5. - С. 894-905. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-5-894-905.

30. Wu Y. Generating bicubic B-spline surface by a sixth order PDE / Y. Wu, C.-G. Zhu // AIMS Mathematics. - 2021. - Vol. 6. - Is. 2. - Pp. 1677-1694. DOI: 10.3934/math.2021099.

31. Песков Ю. А. Морская навигация с ГЛОНАСС/GPS / Ю. А. Песков. - М.: Моркнига, 2010. - 148 с.

32. Каретников В. В. Использование речной дифференциальной подсистемы ГЛОНАСС/GPS на внутренних водных путях Российской Федерации при проведении путевых работ / В. В. Каретников, Р. В. Волков, Г. В. Киселевич // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2015. - № 3 (31). - С. 63-68. DOI: 10.21821/2309-5180-2015-7-3-63-68.

33. Jang J. Improvement of Differential GPS Performance Using Range Measurements Between Satellites / J. Jang, S. Sung, Y. J. Lee // International journal of Aeronautical and Space Sciences. - 2020. - Vol. 21. - Is. 1. - Pp. 201-209. DOI: 10.1007/s42405-019-00198-x.

34. Подкорытов А. Н. Высокоточное местоопределение в глобальных навигационных спутниковых системах в абсолютном режиме за счет разрешения неоднозначности псевдофазовых измерений: дис. … канд. техн. наук / А. Н. Подкорытов. - М., 2014. - 195 с.

35. Podkorytov A. The influence of network structure on quality of satellite corrections for precise point positioning in GNSS / A. Podkorytov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - IOP Publishing, 2020. - Vol. 868. - Is. 1. - Pp. 012031. DOI: 10.1088/1757-899X/868/1/012031.

36. Поваляев А. А. Алгебраические основы обработки измерений при высокоточном абсолютном местоопределении по сигналам ГНСС с кодовым разделением каналов / А. А. Поваляев, А. Н. Подкорытов, С. А. Никитин, Д. В. Филимонова // Ракетно-космическое приборостроение и информационные системы. - 2019. - Т. 6. - № 1. - С. 4-16. DOI: 10.30894/issn2409-0239.2019.6.1.4.16.

37. Каврайский А. В. О связи систем координат, используемых в морской картографии и навигации / А. В. Каврайский // Навигация и гидрография. - 1995. - № 1. - С. 21-25.