СИНТЕЗ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ ИСКАЖЕННОЙ ИЗОЛИНИИ В АСПЕКТЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО РЕЖИМА СПУТНИКОВОЙ НАВИГАЦИИ

Исследован вопрос практического применения понятия «гладкости» в новой парадигме изогеометрического анализа для интерполяции любой навигационной изолинии на основе метода сплайн-функций. Отмечается, что в процессе изучения проблемы точного приближения кривизны изолинии допускается практическая возможность изгиба плоской кривой в физическом пространстве с возможностью существования точек разрыва. Учет рассматриваемого геометрического эффекта создает теоретическую предпосылку синтезирования сложных навигационных изолиний. Вариации решения задачи сводятся к оптимальному подбору сплайновой модификации по степени «гладкости». Для понимания возможностей математического ресурса приводится сравнительная оценка типичного набора сплайн-интерполянтов в виде линейных, квадратических или параболических, кубических и нерациональных сплайнов. Рассматриваются преимущества и недостатки каждой кусочной функции. Конкурирующие с перспективным кубическим сплайном линейные многозвенники интерпретируются как минимальные сплайны возможной максимальной«гладкости». Характеристика практического арсенала интерполяционных средств иллюстрируется поясняющими рисунками. Кубический сплайн признается наиболее предпочтительным формосохраняющим феноменом. Теоретически доказывается лидирующая роль кубических кусочных многочленов в вопросах обработки навигационной информации. Обосновываются реальные преимущества кубической сплайн-интерполяции. Исследуется механизм модернизации гибридного алгоритма аппроксимации с получением эффекта быстродействия вычислительных операций за счет конкретизированного представления матричных композиций в развитии гипотезы Шенберга. Предлагается оперирование с заранее известными числовыми реализациями структуры матриц в отличие от классического подхода с перманентным вычислением каждого сплайнового элемента. Дана уточняющая геометрическая интерпретация вероятности возникновения искаженной навигационной изолинии при использовании дифференциального режима спутниковой навигации как альтернативы точного позиционирования положения. Рассматривается алгоритмическая возможность аппроксимации сложной изолинии на основе специальных разработанных предложений. Ситуация моделирования разрывной изолинии является авторской точкой зрения на перспективу восстановления искаженной навигационной изолинии кубическими сплайнами. Исследованные теоретические предположения подтверждаются практическим созданием прикладных программ высокого быстродействия с целью «гладкого» приближения разрывной изолинии или изоповерхности на основе методов кубической кусочной аппроксимации. Модернизация программного обеспечения в предлагаемом исследовании основывается на введении в алгоритм дополнительных логических условий оптимального математического манипулирования точками разрыва навигационных изолиний.

приближение кривизны, плоская кривая, сплайн-интерполянт, линейные сплайны, квадратические сплайны, параболические сплайны, кубические сплайны, нерациональные сплайны, гипотеза Шенберга, точное позиционирование положения

1. Kvasov B. Weighted cubic and biharmonic splines / B. Kvasov, T. W. Kim // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2017. - Vol. 57. - Is. 1. - Pp. 26-44. DOI: 10.1134/S0965542517010109.

2. Taheri A.H. Adaptive w-refinement: A new paradigm in isogeometric analysis / A.H. Taheri, K. Suresh // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2020. - Vol. 368. - Pp. 113180. DOI: 10.1016/j.cma.2020.113180.

3. Taheri A. H. Generalizations of non-uniform rational B-splines via decoupling of the weights: theory, software and applications / A. H. Taheri, S. Abolghasemi, K. Suresh // Engineering with Computers. - 2020. - Vol. 36. - Pp. 1831-1848. DOI: 10.1007/s00366-019-00799-w.

4. Han X. Bicubic B-spline surface constrained by the Biharmonic PDE / X. Han, J. Han // Applied Mathematics and Computation. - 2019. - Vol. 361. - Pp. 766-776. DOI: 10.1016/j.amc.2019.06.025.

5. Ююкин И. В. Модификация метода наименьших квадратов для сплайн-аппроксимации навигационной изоповерхности / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2019. - Т. 11. - № 4. - С. 631-639. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11-4-631-639.

6. Chaudhuri A. B-Splines / A. Chaudhuri // Encyclopedia of Computer Graphics and Games. - Springer, Cham, 2019. - Pp. 1-11. DOI: 10.1007/978-3-319-08234-9_359-1.

7. Ююкин И. В. Интерполяция навигационной функции сплайном лагранжева типа / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. - 2020. - Т. 12. - № 1. - С. 57-70. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-1-57-70.

8. Volkov Yu. S. Fifty years to Schoenberg’s problem on the convergence of spline interpolation / Yu. S. Volkov, Yu. N. Subbotin // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2015. - Vol. 288. - Is. 1. - Pp. 222-237. DOI: 10.1134/S0081543815020236.

9. Волков Ю. С. О погрешности приближения простейшей локальной аппроксимацией сплайнами / Ю. С. Волков, В. В. Богданов // Сибирский математический журнал. - 2020. - Т. 61. - № 5. - С. 1000-1008. DOI: 10.33048/smzh.2020.61.503.

10. Ююкин И. В. Сплайн-интерполяция навигационных изолиний / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2019. - Т. 11. - № 6. - С. 1026-1036. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11-6-1026-1036.

11. Дерябин В. В. Алгоритмизация счисления пути судна на основе нейросетевых технологий: автореф. дисс. … д-ра техн. наук / В. В. Дерябин. - СПб., 2019. - 43 с.

12. Ююкин И. В. Применение метода сплайн-функций при компьютерной визуализации подводного рельефа / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. - 2021. - Т. 13. - № 1. - С. 64-79. DOI: 10.21821/2309-5180-2021-13-1-64-9.

13. Makarov A. A. On Two Algorithms of Wavelet Decomposition for Spaces of Linear Splines / A. A. Makarov // Journal of Mathematical Sciences. - 2018. - Vol. 232. - Is. 6. - Pp. 926-937. DOI: 10.1007/s10958-018-3920-z.

14. Kvasov B. I. Parabolic B-splines in interpolation problems / B. I. Kvasov // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1983. - Vol. 23. - Is. 2. - Pp. 13-19. DOI: 10.1016/S0041-5553(83)80041-X.

15. Богданов В. В. Об условиях формосохранения при интерполяции параболическими сплайнами по Субботину / В. В. Богданов, Ю. С. Волков // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2016. - Т. 22. - № 4. - С. 102-113. DOI: 10.21538/0134-4889-2016-22-4-102-113.

16. Ююкин И. В. Навигационное использование e-Loran в модификации с методом сплайн-функций / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2020. - Т. 12. - № 4. - С. 703-715. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-4-703-715.

17. Volkov Yu. S. Shape-preserving interpolation by cubic splines / Yu. S. Volkov, V. V. Bogdanov, V. L. Miroshnichenko, V. T. Shevaldin // Mathematical Notes. - 2010. - Vol. 88. - Is. 6. - Pp. 798-805. DOI: 10.1134/S0001434610110209.

18. Волков Ю. С. Сплайны как инструмент геометрического моделирования (к 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова) / Ю. С. Волков, В. Л. Мирошниченко, С. И. Фадеев // Сибирские электронные математические известия. - 2011. -Т. 8. - С. A.11-A.16.

19. Volkov Yu. S. Convergence of Quartic Interpolating Splines / Yu. S. Volkov // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2020. - Vol. 308. - Pp. 196-202. DOI: 10.1134/S0081543820020169.

20. Lukomskii S. F. On Binary B-splines of Second Order / S. F. Lukomskii, M. D. Mushko // Izvestiya of Saratov University. New series. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics. - 2018. - Vol. 18. - Is. 2. - Pp. 172-182. - DOI: 10.18500/1816-9791-2018-18-2-172-182.

21. Schoenberg, I. J. Contribution to the Problem of Approximation of Equidistant Data by Analytic Functions / I. J. Schoenberg // Quarterly of Applied Mathematics. - 1946. - Vol. 4. - № 1. - Pp. 45-99. DOI: 10.1090/qam/15914.

22. Ююкин И. В. Оптимизация моделирования навигационной изоповерхности методами базисных финитных сплайнов / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2019. - Т. 11. - № 2. - С. 266-274. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11-2- 266-274.

23. Wand M. P. On semiparametric regression with O’Sullivan penalized splines / M. P. Wand, J. T. Ormerod // Australian & New Zeland Journal of Statistics. - 2008. - Vol. 50. - Is. 2. - Pp. 179-198. DOI: 10.1111/j.1467-842X.2008.00507.x.

24. Valentin J. Gradient-Based Two-Scale Topology Optimization With B-Splines on Sparse Grids / J. Valentin, D. Hübner, M. Stingl, D. Pflüger // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2020. - Vol. 42. - Is. 4. - Pp. B1092-B1114. DOI: 10.1137/19M128822X.

25. Ююкин И. В. Аппроксимация геоида методами сплайн-функций / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2020. - Т. 12. - № 2. - С. 262-271. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-2-262-271.

26. Ююкин И. В. Поиск ошибок в базе навигационных данных методом визуализации сплайновой изоповерхности / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2020. - Т. 12. - № 3. - С. 481-491. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-3-481-491.

27. Chaudhuri A. Shape Deformation Models / A. Chaudhuri // Encyclopedia of Computer Graphics and Games. - Springer, Cham, 2019. - Pp. 1-10. DOI: 10.1007/978-3-319-08234-9_358-1.

28. Bogdanov V. V. Shape-Preservation Conditions for Cubic Spline Interpolation / V. V. Bogdanov, Yu. S. Volkov // Siberian Advances in Mathematics. - 2019. - Vol. 29. - Is. 4. - Pp. 231-262. DOI: 10.3103/S1055134419040011.

29. Ратнер Е. А. Сплайн-интерполяция для построения трехмерных батиметрических моделей при картографировании внутренних водных путей / Е. А. Ратнер, А. И. Зайцев, М. А. Квасной // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2020. - Т. 12. - № 5. - С. 894-905. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-5-894-905.

30. Wu Y. Generating bicubic B-spline surface by a sixth order PDE / Y. Wu, C.-G. Zhu // AIMS Mathematics. - 2021. - Vol. 6. - Is. 2. - Pp. 1677-1694. DOI: 10.3934/math.2021099.

31. Песков Ю. А. Морская навигация с ГЛОНАСС/GPS / Ю. А. Песков. - М.: Моркнига, 2010. - 148 с.

32. Каретников В. В. Использование речной дифференциальной подсистемы ГЛОНАСС/GPS на внутренних водных путях Российской Федерации при проведении путевых работ / В. В. Каретников, Р. В. Волков, Г. В. Киселевич // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2015. - № 3 (31). - С. 63-68. DOI: 10.21821/2309-5180-2015-7-3-63-68.

33. Jang J. Improvement of Differential GPS Performance Using Range Measurements Between Satellites / J. Jang, S. Sung, Y. J. Lee // International journal of Aeronautical and Space Sciences. - 2020. - Vol. 21. - Is. 1. - Pp. 201-209. DOI: 10.1007/s42405-019-00198-x.

34. Подкорытов А. Н. Высокоточное местоопределение в глобальных навигационных спутниковых системах в абсолютном режиме за счет разрешения неоднозначности псевдофазовых измерений: дис. … канд. техн. наук / А. Н. Подкорытов. - М., 2014. - 195 с.

35. Podkorytov A. The influence of network structure on quality of satellite corrections for precise point positioning in GNSS / A. Podkorytov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - IOP Publishing, 2020. - Vol. 868. - Is. 1. - Pp. 012031. DOI: 10.1088/1757-899X/868/1/012031.

36. Поваляев А. А. Алгебраические основы обработки измерений при высокоточном абсолютном местоопределении по сигналам ГНСС с кодовым разделением каналов / А. А. Поваляев, А. Н. Подкорытов, С. А. Никитин, Д. В. Филимонова // Ракетно-космическое приборостроение и информационные системы. - 2019. - Т. 6. - № 1. - С. 4-16. DOI: 10.30894/issn2409-0239.2019.6.1.4.16.

37. Каврайский А. В. О связи систем координат, используемых в морской картографии и навигации / А. В. Каврайский // Навигация и гидрография. - 1995. - № 1. - С. 21-25.