Моделирование траектории движения судна сплайнами Лагранжева типа

   Темой работы является исследование проблем моделирования траекторий на основе сплайнов лагранжевого типа с синхронным представлением вахтенному помощнику геометрического компьютерного сопровождения генезиса программируемого плавания в режиме реального времени.

   Поскольку тактически сплайновая кривая строится и управляется контрольными точками, то выдвигается гипотеза, что положение точечных маркеров может задаваться пользователем в интерактивном режиме в соответствии с требованиями конкретики навигационной задачи с целью практической реализации возможности динамичной модификации маршрута в случае стратегической недоступности изначально выбранного пути. Задача маршрутизации рассматривается как многокритериальный поиск наилучшей траектории движения судна в обход ограничительных препятствий с алгоритмической возможностью своевременного уклонения от запретных районов плавания. В аспекте нового подхода маршрутизации инициируется реконструкция плавной траектории движущегося объекта как реализации концепции программного следования по прогнозируемой линии пути в зоне навигационной безопасности. Предполагается, что в математическом обеспечении алгоритмов адаптивных морских систем сплайновая интерполяция Лагранжа может обеспечить максимальное приближение к реальной гладкой траектории движения мобильного объекта в конфликтной среде. В ситуации применения сплайн-функций добавляется фактор внутренней геометрии синтезированной траектории в виде феномена «гладкости». В контексте поставленной задачи «гладкость» траектории понимается как фактический синоним плавности моделируемой изолинии. Акцентируется необходимость моделирования траектории кубическими сплайн-функциями Лагранжа, имеющими непрерывную производную до второго порядка, так как движение любого реального объекта традиционно характеризуется как мгновенной скоростью движения по траектории, так и непрерывным ускорением. В качестве демонстрации практической применимости построения оптимальной конфигурации лагранжевой сплайн-траектории апробирована конкретная вариативность плавного маршрута в проектировании компьютерного скриншота как результат работы разработанного программного обеспечения. Аргументированы такие преимущества сплайнов Лагранжа, как относительная простота построения, максимальная «гладкость», удовлетворительные интерполяционные свойства, единственность решения и устойчивость алгоритма точечной интерполяции, а также доступная точность восстановления априорно заданных навигационных функций.

1. Лю В. Методы планирования пути в среде с препятствиями (обзор) / В. Лю // Математика и математическое моделирование. — 2018. — № 1. — С. 15–58. — EDN: YWFAYD. DOI: 10.24108/mathm.0118.0000098.

2. Zhuk A. S. Guaranteed Safe States in Speed Space for Ships Collision Avoidance Problem / A. S. Zhuk // Current Problems in Applied Mathematics and Computer Science and Systems — Springer Nature Switzerland, 2023. — Pp. 441–449. DOI: 10.1007/978-3-031-34127-4_43.

3. Васьков А. С. Планирование и контроль криволинейной траектории движения судна / А. С. Васьков, А. А. Мироненко // Вестник государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. — 2023. — Т. 15. — № 3. — С. 401–415. — EDN: THCPAH. DOI: 10.21821/2309-5180-2023-15-3-401-415.

4. Мироненко А. А. Методология формализации навигационной обстановки, планирования маршрута и программных траекторий движения судна : диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук ; специальность: 05.22.19 «Эксплуатация водного транспорта, судовождение» / А. А. Мироненко. — Новороссийск: Государственный морской университет им. адм. Ф. Ф. Ушакова, 2016. — EDN: KUKJFE.

5. Карпов А. В. Интерполирование траекторий и синтез параметров управляющих воздействий приводов беспилотных систем степенными сплайнами / А. В. Карпов, Н. И. Гданский, В. А. Каргин, К. М. Усанов // Электротехнологии и электрооборудование в АПК. — 2025. — Т. 72. — № 2(59). — С. 117–124. — EDN: ZZABHP. DOI: 10.22314/2658-4859-2025-72-2-117-124.

6. Гриняк В. М. Управление движением беспилотника по программной траектории на основе машинного обучения / В. М. Гриняк, К. С. Шутов, А. С. Девятисильный, А. В. Артемьев // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. — 2025. — Т. 27. — № 1. — С. 66–76. — EDN: ITNXPA. DOI: 10.18127/j19998554-202501-06.

7. Жук А. С. Итеративный метод планирования движения судна в непредсказуемой навигационной обстановке / А. С. Жук // Морские интеллектуальные технологии. — 2023. — № 3–1(61). — С. 179–187. — EDN: NZEVWK. DOI: 10.37220/MIT.2023.61.3.018.

8. Ююкин И. В. Интерполяция навигационной функции сплайном лагранжева типа / И. В. Ююкин // Вестник государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. — 2020. — Т. 12. — № 1. — С. 57–70. — EDN: PZAOIV. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-1-57-70.

9. Livshits L. P. Quasilinear Interpolation by Minimal Splines / L. P. Livshits, A. A. Makarov, S. V. Makarova // Journal of Mathematical Sciences. — 2024. — Vol. 281. — Is 2. — С. 285–296. DOI: 10.1007/s10958-024-07101-4.

10. Ward J. P. Interpolating splines on graphs for data science applications / J. P. Ward, F. J. Narcowich, J. D. Ward // Applied and Computational Harmonic Analysis. — 2020. — Vol. 49. — Is. 2. — Pp. 540–557. DOI: 10.1016/j.acha.2020.06.001.

11. Ююкин И. В. Сплайн-интерполяция навигационных изолиний / И. В. Ююкин // Вестник государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. — 2019. — Т. 11. — № 6. — С. 1026–1036. — EDN: PSJYOY. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11-6-1026-1036.

12. Kvasov B. I. Approximation by Lagrange splines / B. I. Kvasov, A. Luadsong // Proceedings of the Fourth Annual National Symposium on Computational Science and Engineering — Bangkok: Kasetsart University, 2000. — Pp. 303–315.

13. Dem’yanovich Y. K. Minimal splines of Lagrange type / Y. K. Dem’yanovich // Journal of Mathematical Sciences. — 2010. — Vol. 170. — Is. 4. — Pp. 444–495. DOI: 10.1007/s10958-010-0096-6.

14. Ююкин И. В. Оптимальная сплайн-траектория информативного маршрута судна в корреляционноэкстремальной навигации / И. В. Ююкин // Вестник государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. — 2022. — Т. 14. — № 2. — С. 230–247. — EDN: JYHSIY. DOI: 10.21821/2309-5180-2022-14-2-230-247.

15. Dem’yanovich Yu. K. On General Smoothness of Minimal Splines of the Lagrange Type / Yu. K. Demyanovich, T. O. Evdokimova, E. V. Prozorova // WSEAS Transactions on Mathematics. — 2018. — Vol. 17. — Pp. 304–310.

16. Ююкин И. В. Синтез кубическими сплайнами искаженной изолинии в аспекте использования дифференциального режима спутниковой навигации / И. В. Ююкин // Вестник государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. — 2021. — Т. 13. — № 3. — С. 341–358. — EDN: JJUGRO. DOI: 10.21821/2309-5180-2021-13-3-341-358.

17. Volkov Y. S. Estimates of Solutions to Infinite Systems of Linear Equations and the Problem of Interpolation by Cubic Splines on the Real Line / Y. S. Volkov, S. I. Novikov // Siberian Mathematical Journal. — 2022. — Vol. 63. — Is. 4. — Pp. 677–690. DOI: 10.1134/S0037446622040085.

18. Шихшинатова М. М. Задачи приближения функций: от лагранжевых к серендиповым полиномам / М. М. Шихшинатова // Вестник Дагестанского государственного университета. Серия 1: Естественные науки. — 2022. — Т. 37. — № 3. — С. 34–41. — EDN: XMWGKM. DOI: 10.21779/2542-0321-2022-37-3-34-41.

19. Babic D. Optimized Lagrange and spline-based interpolators / D. Babic // Proceedings of Papers 5^th European Conference on Circuits and Systems for Communications (ECCSC’10) — 2010. — Pp. 290–293.

20. Diyachuk A. Comparative Analysis of Optimal Path Planning Algorithms Using Deep Learning Technique / A. Diyachuk // 2024 International Conference on Cyber-Physical Social Intelligence (ICCSI) — 2024. — Pp. 1–6. DOI: 10.1109/ICCSI62669.2024.10799336.

21. Ююкин И. В. Сплайновая реконструкция эталона информативности в задачах корреляционноэкстремальной навигации / И. В. Ююкин // Вестник государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. — 2025. — Т. 17. — № 2. — С. 233–253. — EDN: OWLOHJ. DOI: 10.21821/2309-5180-2025-17-2-233-253.

22. Dem’yanovich Yu. K. Adaptive Refinement of the Variational Grid Method / Yu. K. Dem’yanovich, N. A. Lebedinskaya, A. N. Terekhov // WSEAS Transactions on Systems and Control. — 2022. — Vol. 17. — Pp. 527–534. DOI: 10.37394/23203.2022.17.58.

23. Ююкин И. В. Комплексирование методов сплайн-функций и нечеткой логики для решения сложных задач судовождения / И. В. Ююкин // Вестник государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. — 2025. — Т. 17. — № 5. — С. 653–671. — EDN: EGJBTH. DOI: 10.21821/2309-5180-2025-17-5-653-671.

24. Belyakova O. V. On Implementation of Non-Polynomial Spline Approximation / O. V. Belyakova // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2019. — Vol. 59. — Is. 5. — Pp. 689–695. DOI: 10.1134/S096554251905004X.

25. Bogdanov V. V. Interpolation By Cubic Tension Splines With Convexity Inheritance / V. V. Bogdanov, Yu. S. Volkov // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications. — 2025. — Vol. 13. — Is. 1. — Pp. 37–49. DOI: 10.32523/2306-6172-2025-13-1-37-49.

26. Ююкин И. В. Реализация плавности конфигурации сплайн-траектории для своевременного уклонения от запретных районов плавания / И. В. Ююкин // Вестник государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. — 2024. — Т. 16. — № 3. — С. 421–443. — EDN: VCRDTK. DOI: 10.21821/2309-5180-2024-16-3-421-443.

27. Назаров А. И. Применение кубического сплайна и трехгранника Френе для построения маршрута пролета летательного аппарата / А. И. Назаров // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. — 2022. — № 2. — С. 137–140. — EDN: GQNTJI. DOI: 10.24412/2071-6168-2022-2-137-141.

28. Ahmed A. Path Smoothing Algorithm Using Thin-Plate Spline / A. Ahmed, A. Soliman, A. Maged, M. Gaafar, M. Magdy // 2021 7^th International Conference on Control, Automation and Robotics (ICCAR) — 2021. — Pp. 349–353. DOI: 10.1109/ICCAR52225.2021.9463453.

29. Ююкин И. В. Исследование дифференциальных свойств навигационной изоповерхности / И. В. Ююкин // Вестник государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. — 2025. — Т. 17. — № 4. — С. 515–533. — EDN: DUSTFN. DOI: 10.21821/2309-5180-2025-17-4-515-533.