<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!DOCTYPE article PUBLIC "-//NLM//DTD JATS (Z39.96) Journal Publishing DTD v1.3 20210610//EN" "JATS-journalpublishing1-3.dtd">
<article article-type="research-article" dtd-version="1.3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xml:lang="ru"><front><journal-meta><journal-id journal-id-type="publisher-id">gumrf</journal-id><journal-title-group><journal-title xml:lang="ru">Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова</journal-title><trans-title-group xml:lang="en"><trans-title>Vestnik Gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova</trans-title></trans-title-group></journal-title-group><issn pub-type="ppub">2309-5180</issn><issn pub-type="epub">2500-0551</issn><publisher><publisher-name>ФГБОУ ВО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова»</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="doi">10.21821/2309-5180-2020-12-2-262-271</article-id><article-id custom-type="elpub" pub-id-type="custom">gumrf-24</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Research Article</subject></subj-group><subj-group subj-group-type="section-heading" xml:lang="ru"><subject>ЭКСПЛУАТАЦИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА, ВОДНЫЕ ПУТИ СООБЩЕНИЯ И ГИДРОГРАФИЯ</subject></subj-group><subj-group subj-group-type="section-heading" xml:lang="en"><subject>OPERATION OF WATER TRANSPORT, WATERWAYS AND HYDROGRAPHY</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>АППРОКСИМАЦИЯ ГЕОИДА МЕТОДАМИ СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ</article-title><trans-title-group xml:lang="en"><trans-title>GEOID APPROXIMATION BY SPLINE FUNCTIONS METHODS</trans-title></trans-title-group></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Ююкин</surname><given-names>И. В.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Yuyukin</surname><given-names>I. V.</given-names></name></name-alternatives><email xlink:type="simple">enigma_777@mail.ru. kaf_nav@gumrf.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-1"/></contrib></contrib-group><aff-alternatives id="aff-1"><aff xml:lang="ru"><institution>ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова»</institution><country>Россия</country></aff><aff xml:lang="en"><institution>Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping</institution><country>Russian Federation</country></aff></aff-alternatives><pub-date pub-type="collection"><year>2020</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>28</day><month>06</month><year>2022</year></pub-date><volume>12</volume><issue>2</issue><fpage>262</fpage><lpage>271</lpage><permissions><copyright-statement>Copyright &amp;#x00A9; Ююкин И.В., 2022</copyright-statement><copyright-year>2022</copyright-year><copyright-holder xml:lang="ru">Ююкин И.В.</copyright-holder><copyright-holder xml:lang="en">Yuyukin I.V.</copyright-holder><license xml:lang="ru" license-type="creative-commons-attribution" xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" xlink:type="simple"><license-p>Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.</license-p></license><license xml:lang="en" license-type="creative-commons-attribution" xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" xlink:type="simple"><license-p>This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.</license-p></license></permissions><self-uri xlink:href="https://journal.gumrf.ru/jour/article/view/24">https://journal.gumrf.ru/jour/article/view/24</self-uri><abstract><p>Актуализирована концепция навигационного пространства позиционированием судна тремя фиксированными координатами на геодезической основе «морского геоида». С появлением инновационных компьютерных технологий появляется возможность отказаться от повсеместно применяемого в судовождении подхода геометрических примитивизаций и практически использовать такие фактические атрибуты, как аппроксимированная изоповерхность и интерполированная изолиния. Ошибка пространственно-временного положения морского подвижного объекта, возникающая при математической манипуляции замещения реальной сложной фигуры геоида простыми двухосными эллипсоидами во избежание сложности схемы вычисления, может явиться причиной навигационной аварийности. Предполагается, что любое иллюзорное представление о концепции евклидового пространства для логистики водного транспорта формирует скрытую угрозу математически запрограммированной аварийной ситуации. Демонстрируется ракурсный скриншот синтезированной геоидной изоповерхности как фрагмента модели жидкого состояния планеты в рамках концепции навигационного континуума. Исследован вопрос точности аппроксимации в 3D формате при специально организованном оригинальном эксперименте. Предлагается оптимальным образом учитывать динамически изменяющуюся грушевидность Земли с эффектами гравитационных пульсирующих ундуляций на основе разработанного гибридного метода. При сплайновом подходе отсутствует необходимость изменения математического аппарата «функций-крыш» как такового при реальной алгоритмической возможности реконструкции уточненного гравитационного облика Земли. В современных условиях практикующий штурман поставлен перед необходимостью идентификации активированного в спутниковом оборудовании эллипсоида с датумом морской навигационной или векторной электронной карты. При определении места судна традиционными способами мореплаватель обязан вводить поправки в координаты с легенды бумажной карты при несовпадении геодезических систем. Отмечается, что решить проблему кардинальным образом становится возможным при переориентировании морской логистики на сплайновую геоидную модель с условием перепрофилирования картографии на новую математическую основу. При использовании сплайновой модели геоида появляется реальная возможность освободить вахтенного помощника от рутинных процедур трансформации координат для различных эллипсоидов, что автоматически повышает стандарты безопасности современного судовождения. Тривиальный пересчет координат на другую геодезическую основу создает вероятность прецедента навигационной ошибки. При ручной корректуре электронных карт по извещениям мореплавателям переход от эллипсоида бумажной карты к мировому эллипсоиду реализуется введением поправок с обратным знаком к географической широте и долготе, что может спровоцировать упущение судоводителя с возможными серьезными последствиями. При программной реализации в бортовом компьютере алгоритмов прогрессивной технологии теории приближения функций формируется парадигма абсолютной точности навигации при возможности абстрагирования от сомнительных математических стилизаций.</p></abstract><trans-abstract xml:lang="en"><p>The conception of navigational space has been actualized by ship’s positioning with three fixed coordinates on the «marine geoid» geodetic base. With the advent of innovative computer technologies becomes possible to refuse from the widely used in navigation the approach of geometric primitivities and to utilize practically such factual attributes as approximated isosurface and interpolated isoline. The mistake of the marine mobile object space-time position arising from the mathematical manipulation of substitution the real complex geoid figure by simple two-axis ellipsoids for avoiding the complexity of the calculation scheme may cause a navigation accident. It is assumed that any illusory representation about the concept of Euclidean space for water transport logistics forms the hidden threat of a mathematically programmed emergency situation. The foreshortened screenshot of synthesized geoid isosurface is shown as the fragment of model of the liquid planet state within the concept of navigation continuum. The issue of the approximation accuracy is investigated in 3D format with a specially organized experiment. It is proposed optimally to take into account dynamically changed the «pear-shaped» Earth with the effects of gravitational pulsating undulations based on the developed hybrid method. With the spline approach, there is no need to change the mathematical apparatus of the «functions-roofs» as such with a real algorithmic possibility of reconstructing the refined Earth gravitational appearance. In modern conditions, a practicing navigator is faced with the need to identify an ellipsoid activated in a satellite equipment with a datum of marine navigation or vector electronic chart. While determining the ship location using traditional methods, the seafarer is obliged to make corrections to the coordinates from the legend of the paper chart if the geodetic systems don’t match. It is noted that it becomes possible to solve the problem radically when marine logistics is reoriented to the spline geoid model with the condition that cartography is repurposed on the new mathematical basis. When using the spline model of the geoid, there is a real opportunity to free the watch officer from the routine procedures of transforming coordinates for different ellipsoids. This automatically increases the safety standards of modern navigation. A trivial conversion of coordinates to another geodesic basis creates the probability of a navigation error precedent. When manually correcting electronic charts based on notices to mariners, the transition from the ellipsoid of paper chart to the world ellipsoid is implemented by entering modifications with the reverse sign to the geographical latitude and longitude, which can provoke a navigator’s omission with possible serious consequences. With the software implementation of algorithms of the advanced technology of the function approximation theory in the onboard computer, a paradigm of absolute navigational accuracy with the possibility of abstracting from dubious mathematical stylizations is formed.</p></trans-abstract><kwd-group xml:lang="ru"><kwd>навигационное пространство</kwd><kwd>жидкое состояние планеты</kwd><kwd>грушевидность Земли</kwd><kwd>гравитационные пульсирующие ундуляции</kwd><kwd>парадигма абсолютной точности</kwd></kwd-group><kwd-group xml:lang="en"><kwd>«морской геоид»</kwd><kwd>«функции-крыши»</kwd><kwd>navigational space</kwd><kwd>«pear-shaped» Earth</kwd><kwd>gravitational geoid undulations</kwd><kwd>«functions-roofs»</kwd><kwd>paradigm of absolute accuracy</kwd></kwd-group></article-meta></front><back><ref-list><title>References</title><ref id="cit1"><label>1</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Sanso F. The geoid today: still a problem of theory and practice / F. Sanso, R. Barzaghi, D. Carrion // VII Hotine-Marussi Symposium on Mathematical Geodesy. - Springer, Berlin, Heidelberg, 2012. - Vol. 137. - Pp. 173-180. DOI: 10.1007/978-3-642-22078-4_26.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Sanso F. The geoid today: still a problem of theory and practice / F. Sanso, R. Barzaghi, D. Carrion // VII Hotine-Marussi Symposium on Mathematical Geodesy. - Springer, Berlin, Heidelberg, 2012. - Vol. 137. - Pp. 173-180. DOI: 10.1007/978-3-642-22078-4_26.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit2"><label>2</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Barzaghi R. GEOMED2: high-resolution geoid of the mediterranean / R. Barzaghi, D. Carrion, G.S. Vergos, I.N. Tziavos, V.N. Grigoriadis, D. A. Natsiopoulos, S. Bruinsma, F. Reinquin, L. Seoane, S. Bonvalot, M. F. Lequentrec-Lalancette, C. Salaün, O. Andersen, P. Knudsen, A. Abulaitijiang, M. H. Rio // International Symposium on Advancing Geodesy in a Changing World. - Springer, Cham, 2018. - Vol. 149. - Pp. 43-49. DOI: 10.1007/1345_2018_33.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Barzaghi R. GEOMED2: high-resolution geoid of the mediterranean / R. Barzaghi, D. Carrion, G.S. Vergos, I.N. Tziavos, V.N. Grigoriadis, D. A. Natsiopoulos, S. Bruinsma, F. Reinquin, L. Seoane, S. Bonvalot, M. F. Lequentrec-Lalancette, C. Salaün, O. Andersen, P. Knudsen, A. Abulaitijiang, M. H. Rio // International Symposium on Advancing Geodesy in a Changing World. - Springer, Cham, 2018. - Vol. 149. - Pp. 43-49. DOI: 10.1007/1345_2018_33.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit3"><label>3</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Kopeikin S.M. Reference Ellipsoid and Geoid in Cronometric Godesy / S.M. Kopeikin // Frontiers in Astronomy and Space Sciences. - 2016. - Vol. 3. - Pp. 5. DOI: 10.3389/fspas.2016.00005.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Kopeikin S.M. Reference Ellipsoid and Geoid in Cronometric Godesy / S.M. Kopeikin // Frontiers in Astronomy and Space Sciences. - 2016. - Vol. 3. - Pp. 5. DOI: 10.3389/fspas.2016.00005.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit4"><label>4</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Ююкин И. В. Оптимизация моделирования навигационной изоповерхности методами базисных финитных сплайнов / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2019. - Т. 11. - № 2. - С. 266-274. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11- 2-266-274.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Ююкин И. В. Оптимизация моделирования навигационной изоповерхности методами базисных финитных сплайнов / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2019. - Т. 11. - № 2. - С. 266-274. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11- 2-266-274.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit5"><label>5</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Chicaize E. G. Spatial uncertainty of a geoid undulation model in Guayquil, Ecudor/ E. G. Chicaize, C. A. Leiva, J. J. Arranz, X.E. Buenano // Open Geosciences. - 2017. - Vol. 9. - Is. 1. - Pp. 255-265. DOI: 10.1515/geo-2017-0021.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Chicaize E. G. Spatial uncertainty of a geoid undulation model in Guayquil, Ecudor/ E. G. Chicaize, C. A. Leiva, J. J. Arranz, X.E. Buenano // Open Geosciences. - 2017. - Vol. 9. - Is. 1. - Pp. 255-265. DOI: 10.1515/geo-2017-0021.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit6"><label>6</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Kopeikin S. M. Towards an exact relativistic theory of Earth’s geoid undulation / S. M. Kopeikin, E. M. Mazurova, A. P. Karpik // Physics Letters A. - 2015. - Vol. 379. - Is. 26-27. - Pp. 1555-1562. DOI: 10.1016/j.physleta.2015.02.046.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Kopeikin S. M. Towards an exact relativistic theory of Earth’s geoid undulation / S. M. Kopeikin, E. M. Mazurova, A. P. Karpik // Physics Letters A. - 2015. - Vol. 379. - Is. 26-27. - Pp. 1555-1562. DOI: 10.1016/j.physleta.2015.02.046.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit7"><label>7</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Ююкин И. В. Интерполяция навигационной функции сплайном лагранжева типа / И.В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. - 2020. - Т. 12. - № 1. - С. 57-70. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-1-57-70.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Ююкин И. В. Интерполяция навигационной функции сплайном лагранжева типа / И.В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. - 2020. - Т. 12. - № 1. - С. 57-70. DOI: 10.21821/2309-5180-2020-12-1-57-70.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit8"><label>8</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Muller J. High Performance Clocks and Gravity Field Determination / J. Muller, D. Dirkx, S.M. Kopeikin, G. Lion, I. Panet, G. Petit, P. N. A. M. Visser // Space Sciences Reviews. - 2018. - Vol. 214. - Is. 1. - Pp. 5. DOI: 10.1007/s11214-017-0431-z.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Muller J. High Performance Clocks and Gravity Field Determination / J. Muller, D. Dirkx, S.M. Kopeikin, G. Lion, I. Panet, G. Petit, P. N. A. M. Visser // Space Sciences Reviews. - 2018. - Vol. 214. - Is. 1. - Pp. 5. DOI: 10.1007/s11214-017-0431-z.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit9"><label>9</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Ююкин И. В. Модификация метода наименьших квадратов для сплайн-аппроксимации навигационной изоповерхности / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. - 2019. - Т. 11. - № 4. - С. 631-639. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11-4-631-639.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Ююкин И. В. Модификация метода наименьших квадратов для сплайн-аппроксимации навигационной изоповерхности / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. - 2019. - Т. 11. - № 4. - С. 631-639. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11-4-631-639.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit10"><label>10</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Ююкин И. В. Сплайн-интерполяция навигационных изолиний / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2019. - Т. 11. - № 6. - С. 1026-1036. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11-6-1026-1036.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Ююкин И. В. Сплайн-интерполяция навигационных изолиний / И. В. Ююкин // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. - 2019. - Т. 11. - № 6. - С. 1026-1036. DOI: 10.21821/2309-5180-2019-11-6-1026-1036.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit11"><label>11</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Furuno operator’s manual GPS NAVIGATOR model GP-500. - Nishinomiya: Furuno Electric Co., Ltd., 1989. - 65 p.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Furuno operator’s manual GPS NAVIGATOR model GP-500. - Nishinomiya: Furuno Electric Co., Ltd., 1989. - 65 p.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit12"><label>12</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Рекомендации по организации штурманской службы на судах. - СПб.: ЗАО ЦНИИМФ, 1999. - Вып. № 13. - 152 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Рекомендации по организации штурманской службы на судах. - СПб.: ЗАО ЦНИИМФ, 1999. - Вып. № 13. - 152 с.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit13"><label>13</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Condie K. C. Earth as an Evolving Planetary System / K. C. Condie. - Elsevier Academic Press, 2015. - 430 p. DOI: 10.1016/C2015-0-00179-4.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Condie K. C. Earth as an Evolving Planetary System / K. C. Condie. - Elsevier Academic Press, 2015. - 430 p. DOI: 10.1016/C2015-0-00179-4.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit14"><label>14</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Ningthoujam L. S. Seismologists Search for the Indian Ocean’s “Missing Mass” / L. S. Ningthoujam, S. S. Negi, D. K. Pandey // Earth &amp; Space Science News. - 2019. -Vol. 100. DOI: 10.1029/2019EO120243.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Ningthoujam L. S. Seismologists Search for the Indian Ocean’s “Missing Mass” / L. S. Ningthoujam, S. S. Negi, D. K. Pandey // Earth &amp; Space Science News. - 2019. -Vol. 100. DOI: 10.1029/2019EO120243.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit15"><label>15</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Ghosh A. The Importance of Upper Mantle Heterogeneity in Generating the Indian Ocean Geoid Low / A. Ghosh, G. Thyagarajulu, B. Steinberger // Geophysical Research Letters. - 2017. -Vol. 44. - Is. 19. - Pp. 9707-9715. DOI: 10.1002/2017GL075392.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Ghosh A. The Importance of Upper Mantle Heterogeneity in Generating the Indian Ocean Geoid Low / A. Ghosh, G. Thyagarajulu, B. Steinberger // Geophysical Research Letters. - 2017. -Vol. 44. - Is. 19. - Pp. 9707-9715. DOI: 10.1002/2017GL075392.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit16"><label>16</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Reiss A. S. A hot midmantle anomaly in the area of the Indian Ocean Geoid Low / A.-S. Reiss, C. Thomas, J. Driel, B. Heyn // Geophysical Research Letters. - 2017. - Vol. 44. - Is. 13. - Pp. 6702-6711. DOI: 10.1002/2017GL073440.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Reiss A. S. A hot midmantle anomaly in the area of the Indian Ocean Geoid Low / A.-S. Reiss, C. Thomas, J. Driel, B. Heyn // Geophysical Research Letters. - 2017. - Vol. 44. - Is. 13. - Pp. 6702-6711. DOI: 10.1002/2017GL073440.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit17"><label>17</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Rebetsky Yu. L. On small tangential mass forces that may exist in the lithosphere. Their role in tectonics and geodynamics / Yu. L. Rebetsky // Geodynamics &amp; Tectonophysics. - 2016. - Vol. 7. - Is. 4. -Pp. 691-704. DOI: 10.5800/GT-2016-7-4-0229.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Rebetsky Yu. L. On small tangential mass forces that may exist in the lithosphere. Their role in tectonics and geodynamics / Yu. L. Rebetsky // Geodynamics &amp; Tectonophysics. - 2016. - Vol. 7. - Is. 4. -Pp. 691-704. DOI: 10.5800/GT-2016-7-4-0229.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit18"><label>18</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Okiwelu A. A. Determination of Nigerian geoid undulations from spherical harmonic analysis / A. A. Okiwelu, E. E. Okwueze, I. O. Ude // Applied Physics Research. - 2011. - Vol. 3. - Is. 1. - Pp. 8-14. DOI: 10.5539/apr.v3n1p8.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Okiwelu A. A. Determination of Nigerian geoid undulations from spherical harmonic analysis / A. A. Okiwelu, E. E. Okwueze, I. O. Ude // Applied Physics Research. - 2011. - Vol. 3. - Is. 1. - Pp. 8-14. DOI: 10.5539/apr.v3n1p8.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit19"><label>19</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Kopeikin S. Normal gravity field in relativistic geodesy/ S. Kopeikin, I. Vlasov, W.B. Han // Physical Review D. - 2018. - Vol. 97. - Is. 4 - Pp. 045020. DOI: 10.1103/PhysRevD.97.045020.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Kopeikin S. Normal gravity field in relativistic geodesy/ S. Kopeikin, I. Vlasov, W.B. Han // Physical Review D. - 2018. - Vol. 97. - Is. 4 - Pp. 045020. DOI: 10.1103/PhysRevD.97.045020.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit20"><label>20</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Квасов Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами: автореф. дис. … д-ра физ.-мат. наук / Б. И. Квасов. - Новосибирск, 1997. - 34 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Квасов Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами: автореф. дис. … д-ра физ.-мат. наук / Б. И. Квасов. - Новосибирск, 1997. - 34 с.</mixed-citation></citation-alternatives></ref></ref-list><fn-group><fn fn-type="conflict"><p>The authors declare that there are no conflicts of interest present.</p></fn></fn-group></back></article>
